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Die Evolute einer ebenen Kurve ist

• die Bahn, auf der sich der Mittelpunkt des Krümmungskreises der Kurve bewegt, wenn dieser die gesamte Kurve durchläuft.

Oder auch:

• die Hüllkurve (Enveloppe) der Normalen der gegebenen Kurve.

Evoluten stehen in engem Zusammenhang mit den Evolventen einer gegebenen Kurve, denn es gilt: Eine Kurve ist die Evolute jeder ihrer Evolventen.

• Evolute einer parametrisierten Kurve

• Eigenschaften der Evolute

• Beispiele

• Evolute der Normalparabel

• Evolute einer Ellipse

• Evoluten bekannter Kurven

• Einzelnachweise

• Literatur

• Weblinks

Beschreibt x → → = c → → ( t ) , t ∈ ∈ [ t 1 , t 2 ] {\displaystyle {\vec {x}}={\vec {c}}(t),\;t\in [t_{1},t_{2}]} eine reguläre Kurve in der euklidischen Ebene, deren Krümmung nirgends 0 ist, und sind ρ ρ ( t ) {\displaystyle \rho (t)} der Krümmungskreisradius und n → → ( t ) {\displaystyle {\vec {n}}(t)} die zum Krümmungsmittelpunkt weisende Einheitsnormale, so ist

• E → → ( t ) = c → → ( t ) + ρ ρ ( t ) n → → ( t ) {\displaystyle {\vec {E}}(t)={\vec {c}}(t)+\rho (t){\vec {n}}(t)}

die Evolute der gegebenen Kurve.

Ist c → → ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) T {\displaystyle {\vec {c}}(t)=(x(t),y(t))^{T}} und E → → = ( X , Y ) T {\displaystyle {\vec {E}}=(X,Y)^{T}} , so ist

• X ( t ) = x ( t ) − − y ′ ( t ) ⋅ ⋅ ( x ′ ( t ) 2 + y ′ ( t ) 2 ) x ′ ( t ) ⋅ ⋅ y ″ ( t ) − − x ″ ( t ) ⋅ ⋅ y ′ ( t ) {\displaystyle \displaystyle X(t)=x(t)-{\frac {y'(t)\cdot {\Big (}x'(t)^{2}+y'(t)^{2}{\Big )}}{x'(t)\cdot y''(t)-x''(t)\cdot y'(t)}}} und

Y ( t ) = y ( t ) + x ′ ( t ) ⋅ ⋅ ( x ′ ( t ) 2 + y ′ ( t ) 2 ) x ′ ( t ) ⋅ ⋅ y ″ ( t ) − − x ″ ( t ) ⋅ ⋅ y ′ ( t ) {\displaystyle \displaystyle Y(t)=y(t)+{\frac {x'(t)\cdot {\Big (}x'(t)^{2}+y'(t)^{2}{\Big )}}{x'(t)\cdot y''(t)-x''(t)\cdot y'(t)}}} .

Um Eigenschaften einer regulären Kurve herzuleiten, ist es vorteilhaft, die Bogenlänge s {\displaystyle s} der gegebenen Kurve als Parameter zu verwenden. Denn dann gilt (s. Frenetsche Formeln) | c → → ′ | = 1 {\displaystyle \;|{\vec {c}}'|=1\;} und n → → ′ = − − c → → ′ / ρ ρ {\displaystyle \;{\vec {n}}'=-{\vec {c}}'/\rho \;} . Daraus folgt für den Tangentenvektor der Evolute E → → = c → → + ρ ρ n → → {\displaystyle \;{\vec {E}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}\;} :

E → → ′ = c → → ′ + ρ ρ ′ n → → + ρ ρ n → → ′ = ρ ρ ′ n → → . {\displaystyle {\vec {E}}'={\vec {c}}'+\rho '{\vec {n}}+\rho {\vec {n}}'=\rho '{\vec {n}}\;.}

Aus dieser Gleichung ergeben sich die folgenden Eigenschaften einer Evolute:

• Die Evolute ist in Punkten mit ρ ρ ′ = 0 {\displaystyle \rho '=0} nicht regulär, d. h., sie hat in Punkten maximaler oder minimaler Krümmung Spitzen (s. Parabel, Ellipse, Nephroide).

• Die Normalen der gegebenen Kurve sind Tangenten der Evolute, d. h.: Die Evolute ist die Einhüllende der Normalen der gegebenen Kurve.

• In Abschnitten der gegebenen Kurve, in denen ρ ρ ′ > 0 {\displaystyle \rho '>0} bzw. ρ ρ ′ < 0 {\displaystyle \rho '<0} gilt, ist sie eine Evolvente ihrer Evolute. (Im Bild ist die blaue Parabel eine Evolvente der roten Neilschen Parabel.)

Beweis der letzten Eigenschaft:

In dem betrachteten Abschnitt sei ρ ρ ′ > 0 {\displaystyle \rho '>0} . Eine Evolvente der Evolute lässt sich folgendermaßen beschreiben:

C → → 0 = E → → − − E → → ′ | E → → ′ | ( ∫ ∫ 0 s | E → → ′ ( w ) | d w + l 0 ) , {\displaystyle {\vec {C}}_{0}={\vec {E}}-{\frac {{\vec {E}}'}{|{\vec {E}}'|}}\;{\Big (}\int _{0}^{s}|{\vec {E}}'(w)|\;\mathrm {d} w+l_{0}\;{\Big )}\;,}

wobei l 0 {\displaystyle l_{0}} eine Fadenverlängerung bedeutet (s. Evolvente).

Mit E → → = c → → + ρ ρ n → → , E → → ′ = ρ ρ ′ n → → {\displaystyle {\vec {E}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}\;,\;{\vec {E}}'=\rho '{\vec {n}}} und ρ ρ ′ > 0 {\displaystyle \rho '>0} ergibt sich

C → → 0 = c → → + ρ ρ n → → − − n → → ( ∫ ∫ 0 s ρ ρ ′ ( w ) d w + l 0 ) = c → → + ( ρ ρ ( 0 ) − − l 0 ) n → → . {\displaystyle {\vec {C}}_{0}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}-{\vec {n}}\;{\Big (}\int _{0}^{s}\rho '(w)\;\mathrm {d} w\;+l_{0}{\Big )}={\vec {c}}+(\rho (0)-l_{0})\;{\vec {n}}\;.}

D. h., für die Fadenverlängerung l 0 = ρ ρ ( 0 ) {\displaystyle l_{0}=\rho (0)} erhält man die gegebene Kurve wieder.

• Parallele Kurven besitzen dieselbe Evolute.

Beweis: Eine zur gegebenen Kurve im Abstand d {\displaystyle d} parallele Kurve besitzt die Parameterdarstellung c → → d = c → → + d n → → {\displaystyle {\vec {c}}_{d}={\vec {c}}+d{\vec {n}}} und den Krümmungsradius (s. Parallelkurve) ρ ρ d = ρ ρ − − d {\displaystyle \rho _{d}=\rho -d} . Die Evolute der Parallelkurve ist also E → → d = c → → d + ρ ρ d n → → = c → → + d n → → + ( ρ ρ − − d ) n → → = c → → + ρ ρ n → → = E → → . {\displaystyle {\vec {E}}_{d}={\vec {c}}_{d}+\rho _{d}{\vec {n}}={\vec {c}}+d{\vec {n}}+(\rho -d){\vec {n}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}={\vec {E}}\;.}

Die Normalparabel lässt sich durch die Parameterdarstellung ( t , t 2 ) {\displaystyle (t,t^{2})} beschreiben. Nach den obigen Formeln ergeben sich für die Evolute die folgenden Gleichungen:

X = ⋯ ⋯ = − − 4 t 3 {\displaystyle X=\cdots =-4t^{3}}

Y = ⋯ ⋯ = 1 2 + 3 t 2 {\displaystyle Y=\cdots ={\frac {1}{2}}+3t^{2}}

Dies ist die Parameterdarstellung einer Neilschen Parabel.

Für die Ellipse mit der Parameterdarstellung ( a cos ⁡ ⁡ t , b sin ⁡ ⁡ t ) {\displaystyle (a\cos t,b\sin t)} ergibt sich:cite-ref-1[1]

X = ⋯ ⋯ = a 2 − − b 2 a cos 3 ⁡ ⁡ t {\displaystyle X=\cdots ={\frac {a^{2}-b^{2}}{a}}\cos ^{3}t}

Y = ⋯ ⋯ = b 2 − − a 2 b sin 3 ⁡ ⁡ t {\displaystyle Y=\cdots ={\frac {b^{2}-a^{2}}{b}}\sin ^{3}t}

Diese Gleichungen beschreiben eine schiefe Astroide. Elimination von t {\displaystyle t} liefert die implizite Darstellung

• ( a X ) 2 3 + ( b Y ) 2 3 = ( a 2 − − b 2 ) 2 3 . {\displaystyle (aX)^{\tfrac {2}{3}}+(bY)^{\tfrac {2}{3}}=(a^{2}-b^{2})^{\tfrac {2}{3}}\ .}

• Zu einer Astroide: wiederum eine Astroide (doppelt so groß)

• Zu einer Ellipse: eine schiefe Astroide

• Zu einer Kardioide: wiederum eine Kardioide (ein Drittel so groß)

• Zu einem Kreis: ein Punkt, nämlich dessen Mittelpunkt

• Zu einer Deltoide: wiederum eine Deltoide (dreimal so groß)

• Zu einer Zykloide: eine kongruente Zykloide

• Zu einer Epizykloide: eine vergrößerte Epizykloide

• Zu einer Hypozykloide: eine ähnliche Hypozykloide

• Zu einer logarithmischen Spirale: die gleiche logarithmische Spirale

• Zu einer Nephroide: wiederum eine Nephroide (halb so groß)

• Zu einer Parabel: eine Neilsche Parabel

• Zu einer Traktrix: eine Katenoide (Kettenlinie)

cite-note-11. ↑ R.Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. Band 1, Springer-Verlag, 1955, S. 268.

• K. Burg, H. Haf, F. Wille, A. Meister: Vektoranalysis: Höhere Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und … Springer-Verlag, 2012, ISBN 3-8348-8346-8, S. 30.

• Kleine Enzyklopädie Mathematik. Harry Deutsch Verlag, 1977, ISBN 3-87144-323-9, S. 475.

Commons

: Evolute

– Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Eric W. Weisstein: Evolute. In: MathWorld (englisch).